Як знайти точки мінімуму і максимуму функції: особливості, способи і приклади

Функція і дослідження її особливостей займаєодне з ключових глав в сучасній математиці. Головна складова будь-якої функції - це графіки, що зображують не тільки її властивості, але також і параметри похідною даної функції. Давайте розберемося в цій непростій темі. Отже, як краще шукати точки максимуму і мінімуму функції?

Функція: визначення

Будь-яка змінна, яка якимось чином залежить від значень іншої величини, може називатися функцією. Наприклад, функція f (x²) Є квадратичною і визначає значення для всієї множини х. Припустимо, що х = 9, тоді значення нашої функції дорівнюватиме 9²= 81.

Функції бувають самих різних видів: логічні, векторні, логарифмічні, тригонометричні, числові та інші. Їх вивченням займалися такі видатні уми, як Лакруа, Лагранж, Лейбніц і Бернуллі. Їхні праці служать оплотом в сучасних способах вивчення функцій. Перед тим як знайти точки мінімуму, дуже важливо зрозуміти сам сенс функції і її похідної.

Похідна та її роль

Всі функції знаходяться в залежності від їхзмінних величин, а це значить, що вони можуть в будь-який момент змінити своє значення. На графіку це буде зображуватися як крива, яка то опускається, то піднімається по осі ординат (це все безліч чисел "y" по вертикалі графіка). Так ось визначення точки максимуму і мінімуму функції як раз пов'язано з цими "коливаннями". Пояснимо, в чому ця взаємозв'язок.

Похідна будь-якої функції зображується на графікуз метою вивчити її основні характеристики і обчислити, як швидко змінюється функція (тобто змінює своє значення в залежності від змінної "x"). У той момент, коли функція збільшується, графік її похідної буде також зростати, але в будь-яку секунду функція може почати зменшуватися, і тоді графік похідної буде спадати. Ті точки, в яких похідна переходить зі знака мінуса на плюс, називаються точками мінімуму. Для того щоб знати, як знайти точки мінімуму, слід краще розібратися з поняттям похідної.

Як обчислювати похідну?

Визначення та обчислення похідної функціїмає на увазі під собою кілька понять з диференціального обчислення. Взагалі, саме визначення похідною можна виразити таким чином: це та величина, яка показує швидкість зміни функції.

Математичний спосіб її визначення для багатьохучнів здається складним, однак насправді все набагато простіше. Необхідно лише дотримуватися стандартного плану знаходження похідної будь-якої функції. Нижче описано, як можна знайти точку мінімуму функції, не застосовуючи правила диференціювання і не вивчаючи таблицю похідних.

1. Обчислити похідну функції можна за допомогоюграфіка. Для цього необхідно зобразити саму функцію, потім взяти на ній одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести лінію до осі абсцис (точка х₀), А в точці А провести дотичну до графікафункції. Вісь абсцис і дотична утворюють певний кут а. Для обчислення значення того, наскільки швидко зростає функція, необхідно обчислити тангенс цього кута а.
2. Виходить, що тангенс кута між дотичною танапрямком осі х є похідною функції на маленькій ділянці з точкою А. Даний метод вважається геометричним способом визначення похідної.

Способи дослідження функції

У шкільній програмі математики можливознаходження точки мінімуму функції двома способами. Перший метод за допомогою графіка ми вже розібрали, а як же визначити чисельне значення похідної? Для цього буде потрібно вивчити кілька формул, які описують властивості похідної та допомагають перетворити змінні величини типу "х" в кількості. Наступний метод є універсальним, тому його можна застосовувати практично до всіх видів функцій (як до геометричних, так і логарифмическим).

1. Необхідно прирівняти функцію до функції похідною, а потім спростити вираз, використовуючи правила диференціювання.
2. У деяких випадках, коли дана функція, вякої змінна "х" стоїть в дільнику, необхідно визначити область допустимих значень, виключивши з неї точку "0" (з простої причини того, що в математиці ні в якому разі не можна ділити на нуль).
3. Після цього слід перетворити початковий вигляд функції в просте рівняння, прирівнявши все вираз до нуля. Наприклад, якщо функція виглядала так: f (x) = 2x³+ 38x, то за правилами диференціювання її похідна дорівнює f "(x) = 3x²+1. Тоді перетворимо цей вислів в рівняння такого вигляду: 3x²+1 = 0.
4. Після рішення рівняння і знаходження точок "х",слід зобразити їх на осі абсцис і визначити, чи є похідна в цих ділянках між зазначеними точками позитивною або негативною. Після позначення стане ясно, в якій точці функція починає спадати, тобто змінює знак з мінуса на протилежний. Саме таким способом можна знайти як точки мінімуму, так і максимуму.

Правила диференціювання

Найголовніша складова у вивченні функції іїї похідної - це знання правил диференціювання. Тільки з їх допомогою можна перетворювати громіздкі вирази і великі складні функції. Давайте ознайомимося з ними, їх досить багато, але всі вони досить прості завдяки закономірним властивостями як статечних, так і логарифмічних функцій.

1. Похідна будь константи дорівнює нулю (f (х) = 0). Тобто похідна f (х) = x⁵+ Х - 160 прийме такий вигляд: f "(х) = 5x⁴+1.
2. Похідна суми двох доданків: (f + w) "= f" w + fw ".
3. Похідна логарифмічної функції: (log_ad) "= d / ln a * d. Ця формула може бути застосована до всіх видів логарифмів.
4. Похідна ступеня: (xⁿ) "= N * x^n-1. Наприклад, (9x²) "= 9 * 2x = 18x.
5. Похідна синусоїдальної функції: (sin a) "= cos a. Якщо sin кута а дорівнює 0,5, то її похідна дорівнює √3 / 2.

точки екстремуму

Ми вже розібрали, як знайти точки мінімуму,проте існує поняття і точок максимуму функції. Якщо мінімум позначає ті точки, в яких функція переходить зі знака мінуса на плюс, то точками максимуму є ті точки на осі абсцис, на яких похідна функції змінюється з плюса на протилежний - мінус.

Знаходити точки максимуму можна по вищеописаному способу, тільки слід врахувати, що вони позначають ті ділянки, на яких функція починає спадати, тобто похідна буде менше нуля.

У математиці прийнято узагальнювати обидва поняття,замінюючи їх словосполученням "точки екстремумів". Коли в завданні просять визначити ці точки, це означає, що необхідно обчислити похідну даної функції і знайти точки мінімуму і максимуму.