Теорема синусів. рішення трикутників

При вивченні трикутників мимоволі постає питанняпро обчислення залежності між їх сторонами і кутами. В геометрії теорема косинусів і синусів дає найбільш повну відповідь для вирішення цієї проблеми. Удосталь різних математичних виразів і формул, законів, теорем і правил зустрічаються такі, що відрізняються надзвичайною гармонійністю, лаконічністю і простотою подачі укладеного в них сенсу. Теорема синусів є яскравим прикладом подібної математичного формулювання. Якщо в словесній трактуванні ще й виникає певний перешкода в осмисленні даного математичного правила, то при погляді на математичну формулу все відразу стає на свої місця.

Перші відомості про дану теоремі були виявлені у вигляді докази її в рамках математичного праці Насир ад-Дін Ат-Тусі, датованого тринадцятим століттям.

Наближаючись ближче до розгляду співвідношеннясторін і кутів в будь-якому трикутнику, варто відзначити, що теорема синусів дозволяє вирішувати масу математичних задач, при цьому даний закон геометрії знаходить собі застосування в різних видах практичної діяльності людини.

Сама теорема синусів говорить, що для будь-якоготрикутника характерна пропорційність сторін до синусів протилежних кутів. Також є і друга частина цієї теореми, згідно з якою відношення будь-якого боку трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо даного трикутника.

У вигляді формули це вираз виглядає, як

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Має теорема синусів доказ, яке в різних варіантах підручників пропонується в багатій різноманітності версій.

Для прикладу розглянемо один з доказів, що дають пояснення першої частини теореми. Для цього поставимо за мету довести вірність виразу a sinC = c sinA.

У довільному трикутнику ABC побудуємо висотуBH. В одному з варіантів побудови H лежатиме на відрізку AC, а в іншому за його межами, в залежності від величини кутів при вершинах трикутників. У першому випадку висоту можна виразити через кути і сторони трикутника, як BH = a sinC і BH = c sinA, що і є необхідним доказом.

У разі, коли точка H виявиться за межами відрізка AC, можемо отримати наступні варіанти рішень:

ВН = a sinC і ВН = c sin (180-A) = c sinA;

або ВН = a sin (180-C) = а sinC і ВН = c sinA.

Як бачимо, в незалежності від варіантів побудови, ми приходимо до бажаного результату.

Доказ другій частині теореми зажадає віднас описати навколо трикутника коло. Через одну з висот трикутника, наприклад B, побудуємо діаметр кола. Отриману точку на колі D з'єднаємо з однією з висотою трикутника, нехай це буде точка A трикутника.

Якщо розглянути отримані трикутники ABD іABC, то можна помітити рівність кутів C і D (вони спираються на одну дугу). А враховуючи, що кут А дорівнює дев'яносто градусів то sin D = c / 2R, або ж sin C = c / 2R, що й треба було довести.

Теорема синусів є відправною точкою длявирішення широкого спектра різних завдань. Особлива привабливість полягає в практичному її застосуванні, як наслідок з теореми ми отримуємо можливість зв'язати між собою величини сторін трикутника, протилежних кутів і радіуса (діаметра) описаної навколо трикутника кола. Простота і доступність формули, яка описує дане математичний вираз, дозволяли широко використовувати цю теорему для вирішення завдань за допомогою різних механічних рахункових пристроїв (логарифмічні лінійки, таблиці та ін.), Але навіть прихід на службу людини потужних обчислювальних пристроїв не знизив актуальність даної теореми.

Ця теорема не тільки входить в обов'язковий курс геометрії середньої школи, а й в подальшому застосовується в деяких галузях практичної діяльності.